Vom Zufall der Ordnung

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Die Modelle, die Wendelin Werner und seine Mitarbeiter studieren, lassen sich als kartenartige Abbildungen darstellen. Die universellen Eigenschaften, die sie abbilden, leiten sich aus den gezackten Linien her. (Grafik: Jason P. Miller)

In Nymphenburg ist der ETH-Wahrscheinlichkeitsforscher Wendelin Werner am Freitag mit dem Heinz Gumin-Preis, dem höchst dotierten Mathematikpreis Deutschlands, ausgezeichnet worden. Was das mit einer Reise, dem Liniennetzplan der Verkehrsbetriebe und menschlichen Gefühlen zu tun hat.

Ein Gespräch mit Wendelin Werner gleicht einer Reise - und die Pfade, denen diese Reise folgt, hat der Zufall gezeichnet. Sein Hauptforschungsgebiet ist die Wahrscheinlichkeitstheorie, ein Teilgebiet der Mathematik, das sich mit Zufallsereignissen befasst.

Wendelin Werner studiert unter anderem Zufallsbewegungen, die in der englischen Fachliteratur als «Random Walks» (Irrfahrten) bekannt sind, weil ihre einzelnen Schritte zufällig erfolgen. Was Wahrscheinlichkeitstheoretiker wie Werner speziell interessiert, sind jene Ereignisse und Bewegungen, die, obwohl sie im kleinen Massstab rein zufällig aufeinanderfolgen, im grossen Massstab dennoch eine für den Menschen erkennbare Struktur in der stetigen Welt erzeugen. So wird zum Beispiel auf grosser Ebene aus einer Irrfahrt eine so genannte Brownsche Bewegung, die der schottische Botaniker Robert Brown 1827 als erster beschrieb.

Dies ist eng verbunden mit der Hauptfragestellung der Statistischen Physik, welche aus den chaotischen und zufallsmässigen Bewegungen unzähliger mikroskopisch kleiner Teilchen die makroskopischen Regeln herleitet, mit denen man zum Beispiel das Verhalten von Gasen beschreiben kann.

Eigenschaften von Zufallsereignissen begründen



Für seine «bahnbrechenden Beiträge zur mathematischen Begründung universeller Eigenschaften der Brownschen Bewegung mit Anwendungen auf zentrale Vermutungen der statistischen Physik» hat Wendelin Werner am Freitag den Heinz Gumin Preis für Mathematik der Carl Friedrich von Siemens Stiftung erhalten.

Für den französischen Mathematik-Professor, der seit 2013 an der ETH Zürich ist und 2006 die Fields-Medaille , die bedeutendste Auszeichnung für Mathematiker unter 40 Jahre, erhielt, drückt der Preis eine Wertschätzung der Grundlagenforschung aus.

Für Werner steht nicht das Rechnen der Wahrscheinlichkeit eines einzelnen Ereignisses im Vordergrund. Vielmehr untersucht er die mathematischen Strukturen oder allgemeinen Eigenschaften, die sich bei der überführung von Zufallsereignissen aus der Mikroin die Makrodimension ergeben: «Mich interessiert, was passiert, wenn sehr viele Ereignisse zusammen eintreten und eine Anzahl voneinander unabhängiger Wahrscheinlichkeiten unendlich gross wird. Welche globalen Strukturen bilden sich dann heraus, und was sind ihre Eigenschaften?»

Vom Gefühl zur Abstraktion


Und dann sagt er etwas, das überraschen mag: «Manche Menschen halten die Mathematik, da sie sehr abstrakt ist, für das pure Gegenteil der Gefühlswelt. Für mich und viele andere Mathematiker ist es aber umgekehrt: Die mathematische Welt mit ihren abstrakten Ideen und Konzepten erschliesst sich mir mithilfe der Intuition und dank der emotionalen Welt. Die Kreativität des einzelnen Mathematikers ist eine Voraussetzung für mathematische Erkenntnis.»

Um eine mathematische Struktur zu erfassen, müsse man sie unter verschiedenen Gesichtspunkten betrachten und individuell-kreativ verschiedene Ideen und Konzepte miteinander verknüpfen können: «Jeder Mathematiker hat - sei es aufgrund seiner Kindheit, seiner Erfahrung oder aufgrund bestimmter Anregungen aus der Aussenwelt - ein anderes Bild einer Struktur. Strukturen entfalten in unserem Gehirn ein Eigenleben, denn jeder Mathematiker ist anders, auch wenn die Definitionen für alle dieselben sind.»

Ein Netzplan ist auch eine Struktur


Um den Weg zu erläutern, wie er zur Erkenntnis einer neuen mathematischen Idee gelangt, greift Werner das Beispiel des Liniennetzplanes der Verkehrsbetriebe auf. Ein solcher Netzplan stellt auf abstrakte Weise die Stationen, Verbindungen und Verknüpfungspunkte eines öffentlichen Verkehrsnetzes dar. Er bildet aber nicht die individuelle Routenwahl einer reisenden Person ab, die zum Beispiel vom ETH-Hauptgebäude nach Zürich-Altstetten fahren will. Diese Wahl wird jede Person individuell entscheiden, oft ohne auf das Liniennetz zu schauen, vielmehr nutzt sie ihre Erfahrung und Erinnerungen. Ausserdem spielen verschiedene Einflüsse der Aussenwelt wie das Wetter eine Rolle. Und so sucht sich jede Person in kurzer Zeit einen bestimmten Weg in ihrem Kopf aus.

«Das ist in den mathematischen Gedanken auch nicht viel anders», sagt Werner, «auch da begibt man sich auf eine Reise und muss sehen, wie sich die Sachen am besten miteinander verknüpfen lassen. Um ans Ziel zu kommen, muss ein Mathematiker sowohl eine gewisse intuitive globale Idee vom ‘Liniennetz’ haben als auch konkrete, präzise Entscheidungen treffen.»

Werner interessiert sich besonders für Ereignisse, die sich in kartenartigen Abbildungen darstellen lassen. Da spielen auch besondere winkeltreue Verzerrungen der Bilder (die so genannten konformen Abbildungen) eine wichtige Rolle und verbinden seine Arbeit mit anderen Teilgebieten der Mathematik.

Am Rand der Wahrscheinlichkeiten


Ein konkretes Modell, das Werner studiert, kann man so beschreiben: Wenn es auf einer Fläche immune und infizierte Zellen gibt und es noch auf der Kippe steht, welche Zellen die Oberhand gewinnen werden, dann verteilen sie sich wie auf einer Landkarte über bestimmte Flächen. Zwischen diesen «Territorien» bilden sich Grenzlinien heraus. Jeder infizierte Teil hat so einen vielfach gezackten Rand. Auch wenn dieser zufällig entsteht, lassen sich seine strukturellen Eigenschaften sowie seine «fraktale Dimension», die beschreibt, wie viele Zacken er hat, mathematisch erfassen. Dadurch kann man diesen Infektionsprozess besser verstehen.

Da die Mathematik, die Wendelin Werner betreibt, globale Strukturen und universelle Eigenschaften beschreibt, lassen sich solche Modelle an vielen Beispielen aus den Naturwissenschaften testen. «Die Physik und die empirische Welt sind für mich ständige Quellen der Inspiration», sagt er, «auf diese Weise ist die Mathematik immer mit der äusseren und der inneren, emotionalen Realität verbunden.»