In Zusammenarbeit mit der Purdue University haben Wissenschaftler der EPFL eine 30 Jahre alte Frage über Sphären und vierdimensionale Räume beantwortet. Die Ergebnisse werfen ein neues Licht auf die "Eulersche Klasse", eines der leistungsfähigsten Werkzeuge zum Verständnis komplexer Räume.
Für Mathematikerinnen und Mathematiker ist die "Euler-Klasse" eines der leistungsfähigsten Werkzeuge, um komplexe Räume zu verstehen, indem man sie in einfachere Elemente zerlegt. Sie ist nach dem Schweizer Mathematiker Leonard Euler benannt, der diese Idee als Erster in Erwägung zog.
"Genau wie etwas so Komplexes wie die DNA, die letztlich aus einfachen Atomen besteht, ist es die Art und Weise, wie diese einfachen Elemente zusammengesetzt sind, die die wichtigen Informationen enthält, und nicht die Elemente selbst", sagt Professor Nicolas Monod, der die Forschungseinheit Ergodic and Geometric Group Theory an der EPFL leitet. Sein Team hat sich mit Kollegen von der Purdue University zusammengetan, um eine alte Frage über Sphären zu beantworten. Die Antwort wurde in der mathematischen Fachzeitschrift Inventiones veröffentlicht.
1958 bemerkte der Fields-Medaillengewinner John Milnor beim Versuch, Räume nur mit Kreisen und zweidimensionalen Flächen zu erzeugen, ein Problem: Es gibt eine Grenze für die Komplexität der Eulerschen Klasse in zwei Dimensionen. Diese Beobachtung löste einen Schneeball-Effekt aus und führte zu einem ganzen Forschungsgebiet, das sich mit höheren Dimensionen beschäftigt. Mathematikerinnen und Mathematiker erkannten schnell, dass John Milnors "gebundene Komplexität" nicht auf Räume in allen Dimensionen anwendbar ist.
Nicolas Monod erklärt: "Eine Frage, die jahrzehntelang unbeantwortet blieb, war, warum man Kugeln nicht in vierdimensionalen Räumen zusammensetzen kann. Gibt es auch eine Grenze für die Art und Weise, wie sie zusammenpassen?" Er fährt fort: "Das Zusammensetzen von Kugeln in vierdimensionalen Räumen ist eine besonders wichtige Konstruktion, denn genau auf diese Weise wurden die allerersten "exotischen Kugeln" geschaffen!"
Klassische Ansätze zum Verständnis von Räumen haben sich als unfähig erwiesen, diese vierdimensionale Frage zu beantworten. Deshalb haben sich die Forscherinnen und Forscher der EPFL vom Bernoulli-Prozess inspirieren lassen, benannt nach dem Schweizer Mathematiker Jacob Bernoulli. Der Bernoulli-Prozess, der ein Modell für das Werfen von Münzen darstellt, wurde mit der Untersuchung von Kugeln und der Euler-Klasse kombiniert, um die Frage schließlich zu beantworten.
"Etwas sehr Merkwürdiges ist passiert, als wir uns daran machten, dieses Problem zu lösen", sagt Nicolas Monod. "Vielleicht war die Frage nach den vier Dimensionen so lange unbeantwortet geblieben, weil keine der herkömmlichen Methoden, die man zum Verständnis von Räumen verwendet, eine Antwort darauf zu geben schien. Stattdessen haben wir uns einer unwahrscheinlichen Inspirationsquelle zugewandt: dem Münzwerfen!"
Bei "Kopf oder Zahl" handelt es sich um ein Spiel, bei dem man eine 50:50-Chance hat, die richtige Seite einer Münze zu erraten. Dies mag sehr einfach erscheinen, doch diese Einfachheit ist trügerisch. "Der Bernoulli-Prozess enthält bereits viele fortgeschrittene Merkmale der Wahrscheinlichkeitstheorie, wenn man sich daran macht, den Wurf immer öfter zu wiederholen", sagt Nicolas Monod. "Tatsächlich sagt uns das Gesetz der großen Zahlen sogar, dass dieses einfache Modell viele der kompliziertesten Zufallsphänomene in der Natur nachbilden kann, wenn wir bereit sind, lange genug genügend Münzen zu werfen."
Wahrscheinlichkeitsrechnung und Zufallsprozesse mögen auf den ersten Blick nicht viel mit der Analyse höherer Dimensionen des Raums zu tun haben, aber die Mathematik ist ebenso sehr eine kreative Kunst wie eine Wissenschaft. "Anfang des Jahres haben wir einen Artikel veröffentlicht, in dem wir beschrieben haben, wie Bernoulli-Zufallsmünzensätze die Beantwortung einiger schwieriger algebraischer Fragen ermöglichen können, die sehr wenig zufällig sind", erklärt Nicolas Monod. "Dies wurde nun mit dem Studium von Sphären und der Eulerschen Klasse kombiniert, um schließlich die alte Frage über vierdimensionale Räume zu beantworten: Nein, es gibt keine Begrenzung für die Größe der Eulerschen Klasse für vierdimensionale Sphären."
"Die Münzen kamen also der Algebra und der Geometrie zu Hilfe, und Bernoulli besuchte Eulers Klasse: Mathematikerinnen und Mathematiker machen die Dinge anders", schloss er.
