Néanmoins, à strictement parler, ces méthodes ne sont pas mathématiquement précises. Et : pour certains phénomènes, elles ont atteint leurs limites. "Normalement, on s’attendrait à ce qu’une résolution plus élevée donne des résultats plus précis", explique Mishra. En d’autres termes, si l’on intègre dans un calcul davantage de points individuels du temps et de l’espace, l’erreur devrait en principe diminuer et les valeurs approximatives calculées devraient mieux refléter la réalité. Mais cela ne fonctionne pas pour les fluides fortement turbulents, comme l’a montré Mishra. Au contraire : les résultats obtenus à haute résolution ne correspondent pas du tout aux résultats des calculs à plus faible résolution - ils ne convergent pas, comme le dit le mathématicien, mais ont un aspect complètement différent. "Cela signifie également qu’il n’est pas possible de calculer des prévisions pour de tels phénomènes".
Extrêmement utiles : les perturbations aléatoires
C’est pourquoi Mishra et son équipe ont cherché un moyen de surmonter ces difficultés lors de la simulation de courants fortement turbulents, et ce grâce à des solutions dites statistiques. Pour ce faire, les chercheurs ont "randomisé" le problème, c’est-à-dire pris en compte le hasard : Ils ont généré de nombreuses perturbations minuscules et aléatoires dans les écoulements étudiés - et ont ensuite analysé le résultat moyen. "C’est la base des solutions statistiques", explique Mishra. "Si des mesures ou des expériences individuelles ne sont pas convergentes, on peut regarder des moyennes à la place". En termes simples, "dans les écoulements turbulents, ce sont les détails qui posent problème. C’est pourquoi on voit plus de structure avec des moyennes".Mais ce n’est pas tout : il faut également tenir compte du fait que les propriétés statistiques des flux à différents endroits de l’espace dépendent les unes des autres, comme l’explique Mishra. Par exemple, dans le cas de la météo : la température à Zurich n’a pas seulement un impact sur les endroits proches, mais aussi sur les endroits éloignés, comme la température à Munich. "C’est pourquoi, au lieu d’étudier des points isolés, nous devons examiner les corrélations entre les points", explique Mishra.
Solution aux problèmes turbulents et explosifs
Voilà pour la théorie. Qu’en est-il dans la pratique ? "Nous pouvons calculer de telles solutions statistiques", explique Mishra. En effet, l’équipe a constaté que les valeurs moyennes calculées convergeaient désormais avec une résolution plus élevée. Et : cela ne valait pas seulement pour des grandeurs spécifiques, comme la densité ou la vitesse d’un écoulement, mais aussi pour les écarts statistiques de ces grandeurs et leur distribution de probabilité. "Jusqu’à présent, chacune de nos simulations de test a fonctionné avec des écoulements bidimensionnels simplifiés". Qu’il s’agisse des valeurs moyennes, des écarts, de la distribution de probabilité ou des corrélations, toutes les valeurs statistiques convergent et les solutions obtenues sont stables.
Après ces premières simulations en 2D, l’équipe de Mishra a réalisé des simulations en 3D à l’aide du superordinateur "Piz Daint" au CSCS de Lugano. Récemment, les chercheurs ont optimisé leur code, ce qui leur a permis d’accélérer les simulations sur "Piz Daint" de plus de dix fois.
Dans les simulations, certaines forces de cisaillement ont d’abord été exercées virtuellement sur les flux afin de simuler l’apparition de ce que l’on appelle les instabilités de Kevin-Helmholz. Celles-ci conduisent à des tourbillons spécifiques, tels qu’ils sont par exemple visibles dans la fumée frisante d’une bougie, ainsi que dans certaines formations nuageuses ou dans les gaz de l’atmosphère des planètes. Ici aussi, les résultats ont montré : Si les chercheurs considèrent des simulations individuelles, aucune convergence n’est visible. "Mais si nous travaillons avec les propriétés statistiques de nombreuses simulations, comme les moyennes, les écarts et les probabilités, les solutions convergent", confirme Mishra.
De l’hypothèse au théorème mathématique
Récemment, son équipe a effectué sur "Piz Daint" des simulations similaires d’un autre phénomène, appelé instabilité de Richtmeyer-Meshkov. Celle-ci est surtout connue en astrophysique, elle se produit lorsqu’une onde de choc rencontre l’interface entre deux courants différents. "Une telle instabilité est violente, un peu comme une explosion", explique Mishra. Encore une fois, les simulations et les analyses de l’équipe ont montré que les solutions statistiques de nombreuses simulations convergent avec une résolution croissante, alors qu’on ne peut pas aller très loin avec des simulations individuelles sans convergence."Grâce aux simulations informatiques, nous comprenons beaucoup mieux ce qui se passe", résume Mishra. "Nous avons pu vérifier notre hypothèse sur l’utilité des solutions statistiques et, ce faisant, développer une certaine intuition pour ces solutions. Mais maintenant, nous devons prendre du papier et un crayon pour prouver rigoureusement la mathématique de notre hypothèse, c’est-à-dire établir un théorème basé sur les axiomes de base des mathématiques". Pour un mathématicien comme Mishra, c’est indispensable - une sorte de dernier niveau supérieur de vérité.
