In collaborazione con la Purdue University, gli scienziati dell’EPFL hanno risposto a una domanda vecchia di 30 anni sulle sfere e sugli spazi a 4 dimensioni. I risultati gettano nuova luce sulla "classe di Eulero", uno degli strumenti più potenti per la comprensione degli spazi complessi.
Per i matematici, la "classe di Eulero" è uno degli strumenti più potenti per comprendere spazi complessi scomponendoli in elementi più semplici. Prende il nome dal matematico svizzero Leonard Euler, che per primo ha preso in considerazione l’idea.
"Proprio come qualcosa di complesso come il DNA, che in ultima analisi è composto da semplici atomi, è il modo in cui questi semplici elementi sono assemblati che contiene l’informazione importante, piuttosto che gli elementi stessi", afferma il professor Nicolas Monod, che dirige l’unità di ricerca sulla teoria dei gruppi ergodici e geometrici all’EPFL. Il suo team ha collaborato con i colleghi della Purdue University per rispondere a una vecchia domanda sulle sfere. La risposta è stata pubblicata sulla rivista matematica Inventiones.
Nel 1958, la medaglia Fields John Milnor notò un problema quando si cercava di creare spazi con solo cerchi e superfici bidimensionali: esiste un limite alla complessità della classe di Eulero in due dimensioni. Questa osservazione si è trasformata in un intero campo di ricerca sulle dimensioni superiori. I matematici si resero presto conto che la "complessità vincolata" di John Milnor non si applicava agli spazi in tutte le dimensioni.
Nicolas Monod spiega: "Una domanda è rimasta senza risposta per decenni: perché non assemblare sfere su spazi a 4 dimensioni? C’è anche un limite alla vestibilità? Continua: "L’assemblaggio di sfere su spazi a 4 dimensioni è una costruzione particolarmente importante perché è proprio così che sono state create le primissime ’sfere esotiche’!".
Gli approcci classici alla comprensione degli spazi si sono dimostrati incapaci di rispondere a questa domanda quadridimensionale. Per questo motivo, i ricercatori dell’EPFL si sono ispirati al processo di Bernoulli, dal nome del matematico svizzero Jacob Bernoulli. Il processo di Bernoulli, che è un modello di lancio della moneta, è stato combinato con lo studio delle sfere e della classe di Eulero per rispondere finalmente alla domanda.
"Quando ci siamo messi a risolvere questo problema, è successa una cosa molto curiosa", spiega Nicolas Monod. "Se questa specifica domanda sulle 4 dimensioni è rimasta a lungo senza risposta, è forse perché nessuno dei metodi classici utilizzati per comprendere gli spazi sembrava in grado di rispondere. Invece, ci siamo rivolti a un’improbabile fonte di ispirazione: il lancio delle monete!".
Testa o croce è un gioco in cui si ha il 50/50 di probabilità di indovinare il lato corretto di una moneta. Può sembrare molto semplice, ma questa semplicità è ingannevole. "Il processo di Bernoulli include già molte caratteristiche avanzate della teoria della probabilità quando si inizia a ripetere il lancio sempre più spesso", afferma Nicolas Monod. "In effetti, la legge dei grandi numeri ci dice persino che questo semplice modello può riprodurre molti dei fenomeni casuali più complessi della natura, se siamo disposti a lanciare un numero sufficiente di monete per un tempo sufficientemente lungo".
La probabilità e i processi casuali possono sembrare non avere molto a che fare con l’analisi delle dimensioni superiori dello spazio, ma la matematica è un’arte creativa tanto quanto una scienza. "All’inizio di quest’anno abbiamo pubblicato un articolo che descrive come il lancio casuale della moneta di Bernoulli possa essere usato per rispondere ad alcune difficili domande algebriche che sono molto non casuali", spiega Nicolas Monod. "Questo è stato ora combinato con lo studio delle sfere e della classe di Eulero per rispondere finalmente alla vecchia domanda sugli spazi a 4 dimensioni: no, non c’è limite alla dimensione della classe di Eulero per le sfere a 4 dimensioni".
"Così le monete vengono in soccorso dell’algebra e della geometria, e Bernoulli visita l’aula di Eulero: i matematici fanno le cose in modo diverso", conclude.
