Tuttavia: a rigore, questi metodi non sono matematicamente precisi. E: per alcuni fenomeni, hanno raggiunto i loro limiti. "Normalmente, ci si aspetta che una risoluzione più elevata produca risultati più accurati", afferma Mishra. In altre parole, se si includono più punti individuali nel tempo e nello spazio in un calcolo, l’errore dovrebbe diventare più piccolo e i valori approssimativi calcolati dovrebbero rappresentare meglio la realtà. Ma questo non funziona con i fluidi altamente turbolenti, come ha dimostrato Mishra. Al contrario: i risultati ottenuti ad alta risoluzione non corrispondono affatto ai risultati dei calcoli a risoluzione inferiore - non convergono, come dice il matematico, ma appaiono completamente diversi. "Questo significa anche che non è possibile calcolare previsioni per questi fenomeni.
Estremamente utile: le perturbazioni casuali
Per questo motivo Mishra e il suo team hanno cercato un modo per superare queste difficoltà nella simulazione di flussi altamente turbolenti, utilizzando le cosiddette soluzioni statistiche. Per farlo, i ricercatori hanno "randomizzato" il problema, cioè hanno tenuto conto del caso: Hanno creato molte piccole perturbazioni casuali nei flussi studiati e poi hanno analizzato il risultato medio. "Questa è la base delle soluzioni statistiche", spiega Mishra. "Se le singole misurazioni o gli esperimenti non convergono, si possono considerare le medie". In poche parole, "nei flussi turbolenti il problema sono i dettagli. Ecco perché con le medie si vede una maggiore struttura".Ma non è tutto: bisogna anche tenere conto del fatto che le proprietà statistiche dei flussi in diverse località dello spazio sono interdipendenti, come spiega Mishra. Per esempio, nel caso del meteo: la temperatura di Zurigo non influisce solo sulle località vicine, ma anche su quelle lontane, come la temperatura di Monaco. "Per questo motivo, invece di considerare i singoli punti, dobbiamo analizzare le correlazioni tra i punti", spiega Mishra.
Soluzione per problemi di turbolenza ed esplosività
Questo per quanto riguarda la teoria. Ma cosa succede nella pratica? "Possiamo calcolare queste soluzioni statistiche", dice Mishra. In effetti, i valori medi calcolati convergono ora con una risoluzione più elevata, come si è reso conto il team. E questo valeva non solo per quantità specifiche, come la densità o la velocità di un flusso, ma anche per le deviazioni statistiche di queste quantità e la loro distribuzione di probabilità. "Finora tutte le nostre simulazioni di prova hanno funzionato con flussi semplificati e bidimensionali". Che si tratti di valori medi, deviazioni, distribuzione di probabilità, correlazioni, tutti i valori statistici convergono e le soluzioni ottenute sono stabili.
Dopo queste prime simulazioni in 2-D, il team di Mishra ha effettuato simulazioni in 3-D con l’aiuto del supercomputer "Piz Daint" del CSCS di Lugano. Recentemente, i ricercatori hanno ottimizzato il loro codice in modo da poter accelerare le simulazioni sul "Piz Daint" di oltre dieci volte.
Nelle simulazioni, alcune forze di taglio sono state prima applicate ai flussi in modo virtuale, per simulare la formazione delle cosiddette instabilità di Kevin-Helmholz. Queste portano a vortici specifici, come quelli visibili nel fumo che si arriccia di una candela, così come in certe formazioni nuvolose o nei gas dell’atmosfera dei pianeti. Anche in questo caso, i risultati hanno mostrato: Se i ricercatori esaminano le singole simulazioni, non si nota alcuna convergenza. "Ma se lavoriamo con le proprietà statistiche di numerose simulazioni, come valori medi, deviazioni e probabilità, le soluzioni convergono", conferma Mishra.
Da ipotesi a teorema matematico
Recentemente, il suo team ha effettuato simulazioni simili di un altro fenomeno sul "Piz Daint", la cosiddetta instabilità Richtmeyer-Meshkov. Si tratta di un fenomeno noto soprattutto in astrofisica, che si verifica quando un’onda d’urto colpisce l’interfaccia tra due flussi diversi. "Questa instabilità è violenta, simile a un’esplosione", spiega Mishra. Ancora una volta, le simulazioni e le analisi del team hanno dimostrato che le soluzioni statistiche di molte simulazioni convergono con l’aumentare della risoluzione, mentre non si va lontano con le singole simulazioni senza convergenza."Grazie alle simulazioni al computer, ora capiamo molto meglio cosa sta succedendo", riassume Mishra. "Siamo stati in grado di verificare la nostra ipotesi sull’utilità delle soluzioni statistiche e di sviluppare un’intuizione su tali soluzioni. Ma ora dobbiamo prendere carta e penna per dimostrare rigorosamente la matematica della nostra ipotesi, cioè per stabilire un teorema basato sugli assiomi di base della matematica". Per un matematico come Mishra, questo è essenziale: una sorta di livello finale e superiore di verità.
