Gli scienziati dell’Università di Ginevra hanno dimostrato che le nostre rappresentazioni mentali dei problemi matematici influenzano le nostre strategie per risolverli.
L’apprendimento della matematica comporta spesso piccoli problemi, legati a situazioni di vita reale. Per esempio, gli alunni devono sommare quantità di farina per realizzare una ricetta o sottrarre somme di denaro per scoprire cosa c’è nel loro portafoglio dopo aver fatto la spesa. Questo comporta la traduzione di affermazioni in procedure algoritmiche per trovare la soluzione. Questa traduzione di parole in strategie risolutive comporta una fase di rappresentazione mentale di informazioni matematiche, come i numeri o la natura dell’operazione da svolgere, e di informazioni non matematiche, come il contesto del problema.
Le dimensioni cardinali o ordinali dei problemi
Avere un’idea più chiara di queste rappresentazioni mentali permetterebbe di comprendere meglio la scelta delle strategie di calcolo. Gli scienziati dell’Università di Ginevra, del CYU e dell’uB hanno condotto uno studio su bambini e adulti di 10 anni, chiedendo loro di risolvere semplici problemi con l’istruzione di utilizzare il minor numero possibile di passaggi di calcolo. Ai partecipanti è stato poi chiesto di produrre un disegno o un diagramma che spiegasse la loro strategia di risoluzione dei problemi per ogni affermazione. I contesti di alcuni problemi riguardavano le proprietà cardinali dei numeri - il numero di elementi in un insieme - mentre altri riguardavano le loro proprietà ordinali - la loro posizione in una lista ordinata.
I primi riguardavano biglie, pesci o libri, ad esempio: "Paul ha 8 biglie rosse. Ha anche delle biglie blu. In tutto, Paul ha 11 biglie. Charlène ha tante biglie blu quante Paul, più alcune verdi. Ha 2 biglie verdi in meno di quelle rosse di Paul. In totale, quante biglie ha Charlène? Le seconde domande riguardavano la lunghezza o la durata, ad esempio: "Il viaggio di Sophie dura 8 ore. Quando arriva, l’orologio segna le 11. Fred parte alla stessa ora di Sophie. Fred parte alla stessa ora di Sophie. Il viaggio di Fred è di 2 ore più breve di quello di Sophie. Che ora segna l’orologio quando Fred arriva?
I due problemi condividono la stessa struttura matematica e possono essere risolti entrambi con una lunga strategia a 3 passi (11 - 8 = 3; 8 - 2 = 6; 6 + 3 = 9) o con un unico calcolo (11 - 2 = 9) utilizzando la semplice sottrazione. Tuttavia, le rappresentazioni mentali di questi problemi sono molto diverse e gli scienziati volevano determinare se il tipo di rappresentazione prediceva la strategia di calcolo, in 1 o 3 fasi, per risolverli.
La nostra ipotesi era che i problemi cardinali - come le biglie - avrebbero ispirato disegni cardinali, cioè diagrammi con singoli elementi identici, come croci o cerchi, o con sovrapposizioni di elementi in insiemi o sottoinsiemi. Allo stesso modo, abbiamo ipotizzato che i problemi ordinali - come i tempi di percorrenza - avrebbero portato a rappresentazioni ordinali, cioè a diagrammi con assi, gradazioni o intervalli, e che questi disegni ordinali avrebbero rispecchiato le rappresentazioni dei partecipanti e indicato che per loro sarebbe stato più facile identificare i dati.che questi disegni ordinali riflettessero le rappresentazioni dei partecipanti e indicassero che avrebbero trovato più facile identificare la strategia di soluzione a un passo", spiega Hippolyte Gros, ex ricercatore post-dottorato presso la Facoltà di Psicologia e Scienze dell’Educazione dell’Università di Ginevra, docente presso lo CYU e primo autore dello studio.
Identificare le rappresentazioni mentali attraverso i disegni
Queste ipotesi sono state convalidate analizzando i disegni di 52 adulti e 59 bambini. Abbiamo dimostrato che, indipendentemente dalla loro esperienza - poiché gli stessi risultati sono stati ottenuti sia nei bambini che negli adulti - l’uso delle strategie da parte dei partecipanti dipende dalla loro rappresentazione del problema, e che questa è influenzata dalle informazioni non matematiche contenute nell’enunciato, come rivelato dai loro disegni", afferma Emmanuel Sander, professore ordinario presso la Facoltà di Psicologia e Scienze dell’Educazione dell’Università di Ginevra. Il nostro studio mostra anche che, anche dopo anni di esperienza nella risoluzione di problemi di addizione e sottrazione, la differenza tra problemi cardinali e ordinali rimane molto marcata. La maggior parte dei partecipanti è stata in grado di risolvere i problemi del secondo tipo in un solo passaggio".
Migliorare l’apprendimento della matematica analizzando i disegni
Il team ha anche notato che i disegni con rappresentazioni ordinali erano più frequentemente associati a una soluzione in un solo passaggio, anche se il problema era cardinale. Ciò significa che il disegno con una scala o un asse è legato alla scelta del calcolo più veloce. Da un punto di vista pedagogico, ciò suggerisce che la presenza di caratteristiche specifiche nel disegno di un allievo può indicare che la sua rappresentazione del problema è la più efficace per rispondere alle istruzioni - in questo caso, risolvere con il minor numero di calcoli possibile", osserva Jean-Pierre Thibaut, professore presso il Laboratoire d’étude de l’Apprentissage et du Développement dell’UB.
Per esempio, quando si tratta di sottrarre singoli elementi, una rappresentazione attraverso un asse - piuttosto che attraverso sottoinsiemi - è più efficace per trovare il metodo più veloce. L’analisi dei disegni degli alunni in aritmetica può quindi consentire un intervento mirato per aiutarli a tradurre i problemi in rappresentazioni più ottimali. Un modo per farlo è lavorare sulla rappresentazione grafica degli enunciati in classe per aiutare gli studenti a capire le strategie più dirette", conclude Hippolyte Gros.
