La ricerca di percorsi infiniti

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Barbara Dembin ricerca la teoria della percolazione. Questa teoria consente, traBarbara Dembin ricerca la teoria della percolazione. Questa teoria consente, tra l’altro, di fare affermazioni sulla diffusione del virus corona.

Come fa l’acqua ad infiltrarsi in una pietra porosa? L’indagine di questa domanda con un modello matematico è stata il punto di partenza del campo di ricerca di Barbara Dembin. Il matematico sta sviluppando nuove intuizioni nella cosiddetta teoria della percolazione.

Barbara Dembin è in piedi davanti alla lavagna del suo ufficio nell’edificio principale del Politecnico e disegna con il gesso un cerchio con protuberanze e ammaccature, la sagoma di una pietra. "Come fa l’acqua a penetrare nella pietra dall’esterno?", chiede e abbozza alcune linee sottili che conducono all’interno del cerchio in modi diversi. Per rispondere a questa domanda, bisogna introdurre un parametro, spiega, e disegna una "p" sulla lavagna. Il parametro p corrisponde alla densità dei fori nella roccia, cioè al numero medio di fori in un piccolo volume di roccia. Quando p raggiunge una certa soglia, la roccia è porosa e l’acqua inizia a penetrare.

"Questo è il modello fisico", spiega Dembin: "C’è un semplice modello matematico per questo". Il matematico disegna anche questo sulla lavagna: una griglia di linee verticali e orizzontali che si incrociano. Poi, con la spugna, elimina alcuni bordi in modo da interrompere alcune linee della griglia. "Ora sto osservando i bordi rimasti e voglio sapere se c’è un percorso coerente che attraversa l’intera griglia", spiega il ricercatore. Nel caso della pietra porosa, l’acqua può passare attraverso di essa. Bisogna immaginare il reticolo e il percorso come infiniti, perché i fori nella roccia sono microscopici rispetto alle dimensioni della pietra.

Anche il parametro p per la densità di buchi gioca un ruolo decisivo in questo modello matematico. Se il suo valore è 0, non ci sono bordi e quindi non c’è un percorso infinito. Se il suo valore è 1, tutti i bordi sono presenti e quindi anche un percorso infinito. "Siamo interessati ai valori di p compresi tra 0 e 1, perché lì accade qualcosa di complicato", spiega Dembin: "C’è un punto critico in cui il comportamento macroscopico cambia bruscamente". Al di sotto di questo valore critico non si vede un percorso lungo, mentre al di sopra c’è almeno un percorso infinito. "Questo comportamento si chiama transizione di fase", spiega il matematico.

Preparare il caffè o posizionare le antenne

Il campo di ricerca che è emerso da queste considerazioni a partire dagli anni Cinquanta è chiamato teoria della percolazione, dal termine latino "percolare" che significa penetrare. In francese, la lingua madre di Dembin, "percolateur" è un termine speciale per indicare una macchina da caffè. Anche la preparazione del caffè è un fenomeno di percolazione. Se la polvere di caffè è troppo compressa, i fori sono troppo piccoli e l’acqua non può passare. "La transizione di fase corrisponde al momento in cui l’acqua inizia a scorrere attraverso i chicchi di caffè", spiega Dembin.

La teoria della percolazione può essere utilizzata per studiare molti fenomeni fisici, come la magnetizzazione spontanea delle leghe o la formazione delle stelle nelle galassie. Ma può anche essere utilizzato per mostrare come il traffico stradale nelle città si interrompa quando alcuni colli di bottiglia sono sovraccarichi. Nel campo delle telecomunicazioni, può essere utilizzato per individuare la posizione migliore delle antenne per ottenere una rete nazionale. Ma può anche essere usato per spiegare come si diffondono gli incendi boschivi o le epidemie. Durante la pandemia di Covid, ad esempio, molti ricercatori hanno utilizzato la teoria della percolazione per elaborare dichiarazioni sulla diffusione e raccomandazioni per contenere i virus.

"Capire i nostri errori è una parte importante del processo di apprendimento".

Il lavoro di Dembin, tuttavia, è lontano da queste applicazioni pratiche: "Faccio ricerca nel campo della matematica teorica e mi concentro interamente sugli aspetti teorici; trovare applicazioni è un altro lavoro". Una delle domande principali della teoria della percolazione riguarda il comportamento del modello matematico registrato nel punto critico. Se il modello è bidimensionale come lo schizzo della lavagna, si può dimostrare che non esiste un percorso infinito quando il parametro p raggiunge il valore Âoe. In tre dimensioni questo non sembra essere il caso - un grande enigma. "Ma non mi interessa questo, bensì la cosiddetta regione subcritica, quando si sa che non esiste un percorso infinito", dice Dembin: "Vogliamo capire a quale velocità un percorso va verso lo zero in quel punto". Insieme a Vincent Tassion, professore di matematica al Politecnico di Zurigo, ha già ottenuto risultati su questo tema per un diverso tipo di modello di percolazione.

Stress all’esame

Barbara Dembin è cresciuta vicino a Parigi. Già da bambina eccelleva in matematica a scuola; i genitori e gli insegnanti hanno riconosciuto e incoraggiato questo talento. "Sono stato fortunato", dice oggi il 29enne: "Quando sei bravo e la gente lo riconosce, vuoi migliorare ancora". Ha superato il difficile ed estremamente selettivo concorso di ammissione all’università francese d’élite "Ecole polytechnique". Ancora oggi ricorda l’esame, per il quale ha dovuto frequentare per due anni i corsi di preparazione al ginnasio per avere qualche possibilità: "Sono andata bene nella parte scritta dell’esame, ma la parte orale è stata terribile". Aveva paura di dire qualcosa di sbagliato e quindi era bloccata nei suoi processi di pensiero.

Ancora oggi, a volte si sente un po’ a disagio quando parla di matematica con ricercatori più esperti che ancora non conosce. "Un problema che i miei colleghi maschi non sembrano avere", dice: "Credo di pensare che come donna devo stare particolarmente attenta a fare una buona impressione". Ancora al ginnasio, racconta, i migliori in matematica erano per lo più ragazze, ma in seguito il numero di donne in questo campo è sceso al 10%. "È allora che si appartiene davvero a una minoranza, e si presta più attenzione a ciò che si dice perché si è molto più visibili". Nella sua ricerca quotidiana, tuttavia, non ha problemi. "Non ho mai sentito commenti sessisti o cose del genere", dice.

Dopo gli studi e il dottorato in matematica presso il rinomato Laboratoire de probabilités, statistique a modélisation (LPSM) di Parigi, ha fatto domanda per un posto di post-dottorato nell’équipe di Vincent Tassion - "all’ultimo momento, due settimane prima della scadenza per la presentazione della domanda", ricorda: "A dire il vero, i miei conoscenti, che non erano mai stati in Svizzera, e io stessa non avevamo una buona opinione del Paese. Pensavamo che le città fossero fredde e noiose". Ma quando ha iniziato a lavorare all’ETH nel settembre 2020, si è subito sentita a casa. "Mi piace molto Zurigo e non voglio tornare a Parigi. È davvero bello qui", dice. Le piace andare in città, ma ama anche la natura, le passeggiate nel bosco o le escursioni più lunghe. Sta anche imparando il tedesco. "Guardo molti film in tedesco e qualcuno ha detto che ho un bell’accento", dice ridendo.

Le piace anche cucinare e vede in questo un parallelo con la ricerca. "Gli chef che inventano nuovi piatti sono molto creativi. Inoltre, applicano alcuni metodi generali in modo molto personale, esplorando così nuovi orizzonti", afferma l’autrice. In matematica si procede in modo simile. Il tempo è un fattore importante. "Se si vuole risolvere un problema difficile, c’è una parte attiva e una passiva", spiega. Nella parte attiva, si pensa intensamente al problema, poi il cervello deve riprendersi in una fase passiva e riorganizzare le cose prima di affrontare nuovamente il problema e, auspicabilmente, vedere la soluzione. "Anche se è difficile non rimanere delusi quando si scopre un errore, capire i nostri errori è una parte importante del processo di apprendimento", afferma Dembin.

Premio per il lavoro innovativo

I successi fanno anche dimenticare i punti più bassi. Per i suoi eccezionali contributi alla teoria della percolazione, Barbara Dembin 2022 ha ricevuto il premio SwissMAP Innovator, un riconoscimento del Centro nazionale di competenza per la ricerca (NCCR), che si occupa di matematica della fisica. Nel lavoro premiato, si è occupata della cosiddetta "percolazione di primo passaggio" e dei relativi modelli di percolazione. Per spiegare in cosa consiste il modello della "percolazione di primo passaggio", Dembin prende di nuovo un pezzo di gesso e disegna una griglia sulla lavagna. "Questa volta i bordi corrispondono alle strade e le intersezioni rappresentano gli incroci", spiega l’autrice. Su alcune strade si va più veloci, su altre più lentamente, quindi ai bordi vengono assegnati valori numerici che dipendono dal tempo impiegato per andare da un incrocio all’altro.

"Ora abbiamo due persone che vogliono attraversare la rete stradale", spiega Dembin e disegna alla lavagna una "A" e una "B" a una certa distanza a sinistra della griglia. A destra della griglia disegna due piccoli cerchi: le destinazioni di A e B. "Entrambe le persone ora prendono il loro GPS per scoprire qual è la strada più breve per raggiungere la destinazione", dice il matematico. Il risultato: entrambi scelgono inizialmente strade diverse e piccole che alla fine conducono a un’autostrada. A e B percorrono la stessa strada fino a quando le loro strade si separano di nuovo prima di raggiungere la loro destinazione. "Questo è esattamente ciò che sono riuscito a dimostrare insieme ai miei colleghi Dor Elboim e Ron Peled in base a determinate ipotesi", afferma Dembin: "Ma ovviamente non parliamo di piccole strade e autostrade nel nostro modello matematico". Ma ammette: "Quando si prova qualcosa, spesso finisce per sembrare facile, come se non si fosse fatto nulla. Ma la strada per arrivarci è stata dura".

Riferimenti

Dembin, B., Elboim, R., Peled, R. Coalescence of geodesics and the BKS midpoint problem in planar first-passage percolation. pagina esterna https://arxiv.org/abs/2204.02332

Dembin, B., Tassion, V. Quasi nitidezza per la percolazione booleana di Poisson. pagina esterna https://arxiv.org/abs/2209.00999