I problemi inversi sono la specialità di Yunan Yang. "La nostra vita quotidiana ne è piena", spiega: "Gli ultrasuoni, per esempio, sono un problema inverso". Le macchine mediche a ultrasuoni emettono onde sonore al di fuori del nostro campo uditivo che attraversano il corpo e registrano le onde riflesse. Il software elabora i segnali delle onde e mostra ciò che accade nel corpo. "Determinare l’immagine del bambino a partire dalle onde è un problema inverso", spiega il matematico 32enne, che dal gennaio 2022 è "Advanced Fellow" presso l’ETH Institute for Theoretical Studies (ETH-ITS): "Sono cresciuto in Cina e poi ho vissuto negli Stati Uniti per otto anni, ma mai in Europa", dice Yang: "Ecco perché volevo venire a Zurigo e lavorare con ricercatori europei".
Il rilevamento dei terremoti può essere visto anche come un problema inverso. I segnali sismici misurati dalle stazioni sismiche rivelano dove e a quale profondità sotto la superficie si trova la sorgente del terremoto. "Si tratta anche di un problema di elaborazione del segnale", spiega Yang. La sua soluzione al problema inverso delle onde sismiche con l’aiuto di un’altra teoria matematica ha fatto scalpore tra gli esperti. Questa teoria si chiama "trasporto ottimale".
"Il problema del trasporto ottimale è facile da formulare ma molto difficile da risolvere".
Ridurre al minimo i costi
"È una teoria molto bella che risale a una semplice domanda che il matematico francese Gaspard Monge si pose nel 1781", racconta Yang: qual è il modo migliore per spostare un grande mucchio di sabbia da un luogo all’altro in modo che il costo sia il più basso possibile? Si sommano i costi di tutti gli spostamenti, cioè massa per distanza, e si cerca di minimizzare questo valore per determinare il piano di trasporto ottimale."Il problema del trasporto ottimale è semplice da formulare ma molto difficile da risolvere", dice il matematico: "Per Monge non era risolvibile". Solo negli anni ’40 è stato possibile semplificare il problema a tal punto da poterlo risolvere vent’anni dopo grazie a computer più efficienti. "Dagli anni ’90 la teoria è stata completata; ci sono estensioni, algoritmi veloci e applicazioni", dice Yang.
Torniamo alle onde sismiche. "Non possiamo guardare a 200 chilometri di profondità nella terra per individuare il fulcro di un terremoto", dice il matematico. Ma i dati sismici possono essere simulati con misure e modelli fisici. Le onde sismiche simulate vengono confrontate con quelle reali misurate e si cerca di farle coincidere e di ridurre al minimo la differenza tra le due. "Per risolvere il problema, ho cambiato il modo di misurare la differenza tra le onde", spiega Yang, "immagino che le onde misurate siano un mucchio di sabbia. Simulo un secondo mucchio di sabbia e cerco di trovare il modo ottimale per farle combaciare". In termini matematici, Yang utilizza una metrica diversa per misurare le onde, ovvero quella derivata dalla teoria del trasporto ottimale.
Un incontro meraviglioso
Yang dice che deve la sua carriera matematica a un incontro meraviglioso. Ha iniziato a studiare scienze all’Università cinese di Zhejiang e dopo un anno si è resa conto che la matematica, pur essendo la materia più difficile, la affascinava di più, così l’ha scelta come specializzazione. Da studentessa, si offrì volontaria per andare a prendere gli ospiti all’aeroporto di Shanghai, tra cui Luis Caffarelli e sua moglie Irene Gamba, entrambi matematici argentino-americani titolari di una cattedra presso l’Università del Texas ad Austin. Caffarelli era già uno dei luminari nel campo delle equazioni differenziali parziali e recentemente ha ricevuto il Premio Abel, il più alto riconoscimento per i matematici con più di 40 anni."Ero molto emozionata e li ho tempestati di domande durante le due ore di viaggio dall’aeroporto all’università, un’esperienza piuttosto spericolata dal punto di vista odierno", racconta Yang: Caffarelli e Gamba hanno risposto pazientemente alle domande della studentessa e l’hanno incoraggiata a fare domanda per un programma di dottorato ad Austin. Yang ci riuscì: "Un anno dopo ero ad Austin per iniziare il mio dottorato e li incontrai di nuovo entrambi".
Punto d’incontro della matematica ETH
Tra i membri della facoltà di Austin all’epoca c’era il matematico italiano Alessio Figalli, nominato al Politecnico di Zurigo nel 2016 e insignito della Medaglia Fields nel 2018, una sorta di premio Nobel per i matematici:in under 40. Nel 2015, Yang ha seguito i corsi di Figalli presso l’Università del Texas ad Austin, dove lavora anche nel campo del trasporto ottimale. Dopo il dottorato, si è trasferita al Courant Institute della New York University, la scuola di matematica applicata numero uno negli Stati Uniti. Lì ha conosciuto Afonso Bandeira, nominato all’ETH nel 2019. È stato quindi ovvio che, una volta scaduta la posizione di postdoc negli Stati Uniti, si sia candidata e abbia avuto successo come "Advanced Fellow" all’ETH-ITS.
L’ETH è uno dei posti migliori al mondo per fare ricerca, dice. Insieme a Figalli e a un collega dell’EPF di Losanna, ha recentemente organizzato un workshop internazionale a Zurigo sulla teoria e l’applicazione del trasporto ottimale.
Il cambiamento della metrica per misurare le onde al fine di risolvere problemi inversi utilizzando il trasporto ottimale è diventato ampiamente accettato. Gli strumenti di questa teoria sono ora utilizzati per molte applicazioni diverse. Ad esempio, possono essere utilizzati anche nell’apprendimento automatico, dove cercano anche di far corrispondere i dati. Oppure per determinare la struttura delle molecole con la microscopia elettronica criogenica.
Scapparedalla frustrazione
Il lavoro matematico può essere frustrante. "Il 90% delle volte si è bloccati: non è una bella sensazione", dice Yang. Per distrarsi, esce all’aria aperta e corre. Dopo aver corso alcune mezze maratone, quest’anno ha corso per la prima volta la maratona completa a Zurigo. Le piace anche fare escursioni in montagna. "È così comodo qui, come una donna svizzera, che prendo il treno", dice. Anche l’insegnamento è una buona distrazione, dice, perché implica parlare di cose che conosce. "Fa crescere la fiducia in se stessi". A luglio, prenderà una cattedra di ruolo alla Cornell University negli Stati Uniti, che comprende anche l’insegnamento.Il trasferimento negli Stati Uniti ha anche ragioni private: "Sto per sposarmi e il mio futuro marito è professore alla Cornell. Rispetto a Zurigo, la città è piccola, ma anche bella, con molti laghi nei dintorni: un luogo ideale per la vita familiare. "La posizione all’ETH mi ha dato una grande opportunità di costruire relazioni e collaborare con persone provenienti da diverse parti d’Europa", dice la matematica: "In futuro, potrò continuare queste collaborazioni".
Letteratura di riferimento
Molinaro R, Yang Y, Engquist, Mishra, S. Neural Inverse Operators for Solving PDE Inverse Problems. Collezione di ricerca del Politecnico di Zurigo (2023). https://www.research-collection.ethz.ch/handle/20.500.11850/596104Engquist, B, Ren, K, Yang, Y. La metrica quadratica di Wasserstein per la corrispondenza inversa dei dati. Inverse Problems 36 (2020) 055001. DOI: pagina esterna https://doi.org/10.1088/1361-6420/ab7e04 call_made
Yang, Y, Engquist, B, Sun, J, Hamfeldt B F. Applicazione del trasporto ottimale e della metrica quadratica di Wasserstein all’inversione di forme d’onda complete. Geophysics 83 (2018) 1. DOI: pagina esterna https://doi.org/10.1190/geo2016-0663.1 call_made
Engquist, B, Froese, B D, Yang, Y. Optimal transport for seismic full waveform inversion. Communications in Mathematical Sciences 14 (2016) 8 DOI: pagina esterna https://dx.doi.org/10.4310/CMS.2016.v14.n8.a9 call_made
